送信した際のログはこれで全部です。
ここで、エラーが出て動作が止まってしまうため、これ以上のログは出てきません。

そうすると認証以前の設定の問題でしょうかね。
同じBecky!でほかのプロバイダのメールについては、送信／受信ともにできているので
NW環境やBecky!そのものの不備ではないと思いますし、
少なくともbiglobeでも受信はできていることから、送信に関する設定の問題だとは思うのですが。
お手上げでしょうか・・・。

設定で「ESMTPを使用」にチェックは入っていますか？

>HELO [10.64.2.xxx]
となっているので入っていないと思われるのですが。
ちなみにESMTPの場合はEHLOとなるようです…